cours gratuit - Apprendre les mathématiques financières



Objectif de ce cours


Vue l’importance des mathématiques appliquées à la finance dans la vie quotidienne de tout un chacun, j’ai choisi d’expliquer l’essentiel des mathématiques financières indispensable à la compréhension de ce que les banquiers nous racontent quand on fait recours à un emprunt ou à un placement de notre argent.

Le but de ce cours est de présenter les calculs mathématiques les plus liés aux pratiques financières courantes avec un style toujours simplifié et différencié de ce qu’on rencontre dans les ouvrages qui traitent le sujet des mathématiques financières d’une façon plus théorique et plus compliquée.

En effet, les explications qui vont être présentées dans cette partie du site sont adressées au grand public dans un but de lui offrir un support suffisamment simplifié pour la compréhension des différents calculs financiers de base qui s’intègrent de plus en plus dans leur vie quotidienne et pour leur permettre d’éviter les pièges des mandarins financiers quand un besoin les y amène.

Ces explications peuvent aussi être considérées comme un support ou un soutien pour tout étudiant ayant un cours de mathématiques financières dans son programme d’étude.



Calculs financiers de base : la notion d'intérêt



L’intérêt est simplement le prix de mettre à disposition un montant d’argent (un capital) pendant une certaine période. C’est donc la rémunération de la location d’argent qui doit se déterminer en fonction d’un pourcentage (taux d’intérêt) appliqué sur le montant prêté ou emprunté et de la durée de mise à disposition de cet emprunt/prêt. Plus la durée d'un placement est longue plus on a tendance à exiger plus d’intérêt en retour ; et plus le montant prêté est grand plus le montant d'intérêt sera important.

Cependant, on doit faire une distinction entre un intérêt simple et un intérêt composé qui se calculent sur les mêmes bases présentées ci-dessus, à savoir le montant du capital, la durée et le taux d’intérêt mais la méthode de calcul et différente pour les deux type d’intérêt.

Pour la suite du raisonnement, on utilisera les symboles mathématiques suivants :

Ct : le montant du capital à l’instant t
I : le montant d’intérêt
i : le taux d’intérêt
n : le nombre de période de placement


Intérêt simple



Ce type d’intérêt illustre la notion d’intérêt au sens propre du terme, Il se calcul simplement sur base du montant du capital initial C0 en le multipliant par le taux d’intérêt i qui se réfère à une période donnée (taux annuel, taux semestriel, taux mensuel etc.). Ainsi un placement au taux annuel i donnera pour un an un montant d’intérêt I1= C0.i. Ce même montant d’intérêt ce reproduit chaque année jusqu’à la fin du placement.

En général, un placement pour n période donnera un montant d’intérêt In=n.C0.i=C0.n.i en plus de la récupération du montant du placement initial C0 à l’échéance.

Cn = C0 + In = C0 + C0.n.i = C0(1 + n.i)

D'où la formule qui nous donne le capital final (intérêt simple plus le capital initial) :

Cn = C0(1+n.i)


Et la formule qui nous donne le montant de l’intérêt simple :

In = C0.n.i


Le principe de l’intérêt simple consiste à ne reproduire de l’intérêt que sur le montant du capital initial et autant de fois qu'il y a de périodes dans la durée du placement. En d’autre terme, on ne tient pas compte de l’intérêt produit au cours de la période durant laquelle le montant du capital initial C0 est mis à disposition. C’est pour cette raison que l’intérêt simple doit se calculer en une seule fois, à la fin de la durée déterminée.

Prenons un exemple, pour que cela soit clair, car c’est ce point là qui va faire la différence avec l’intérêt composé qu’on abordera juste après. Considérons un capital initial de 1000 Euro placé au taux mensuel de 2% pour 8 mois.

En appliquant la formule, le montant d’intérêt simple pour les 8 mois est I8=1000.8.0,02=160Euro.
Si on fait le calcul en prenons en compte une date intermédiaire :

intérêt simple

C4=1000(1+4.0,02)=1080Euro, ce qui donne 80 Euro d’intérêt
en se basant sur C4 on aurait : C8=1080(1+4.0,02)=1166,4 c'est-à-dire 166,4 Euro d’intérêt au lieu de 160 Euro obtenu en un seul calcul.

Cette différence provient du fait que dans le deuxième calcul, on a calculé l’intérêt sur intérêt produit durant les quatre premiers mois, ce qui est logiquement plus correcte. Ce dernier calcul illustre bien l'idée du concept d’intérêt composé.


Exercices d'application pratique



1. Combien dois-je prêter, au taux de 5 %, pour me faire rembourser 1000 euros dans 2 ans ?


Dans ce cas, l'inconnu (X) est le montant à prêter aujourd'hui pour qu'au bout de la deuxième année je reçois un remboursement de 1000 Euro.

intérêt simple

Selon la formule de l'intérêt simple nous avons :

X(1+2*5%)=1000 d'où X=1000/(1+2*5%)=909 Euro

2. Dans le même cas précédent, supposons que nous aurons besoin de 1100 Euro dans 2 ans au lieu de 1000 Euro. Quel serait le taux d’intérêt simple qui permet un tel remboursement suite à un prêt de 909 Euro ?


Dans ce cas on connait le montant dont nous aurons besoin dans 2 ans et le montant que nous prétons aujourd'hui, mais on se demande quel taux d'intérêt à appliquer pour qu'un prêt de 909 Euro sur 2 ans produit un remboursement de 1100 Euro ?

Pour répondre à cette question, il suffit de remplacer les valeurs dont nous disposons dans la formule de l'intérêt simple :

909(1+2*i)=1100 ==> 2*i=1100/909 -1 ==> i=1/2[1100/909 -1]=10,5%


Calculs financiers de base : l'intérêt composé



Le principe de l’intérêt composé consiste à prendre en compte comme base du calcul, non seulement le capital initial comme dans le cas de l’intérêt simple, mais également les montants d’intérêt qui seront générés au fur et à mesure de la durée du placement.

C’est ainsi que tout intérêt généré à une période déterminé sera capitalisé aux mêmes conditions que le capital initial pendant ce qui reste dans la duré du placement.

Donc l’intérêt composé est bien de l’intérêt simple plus la capitalisation des intérêts générés au cours de la durée du placement.

Prenons l’exemple d’un capital C0 de 2000 Euro placé au taux mensuel de 1% pour 3 mois. Le capital et les intérêts généré à la fin de chaque mois seront :

Fin du premier mois : C1=2000(1+1%)=2020 Euro
Fin du deuxième mois : C2=2020(1+1%)=2040,2 Euro
Fin du troisième mois : C3=2040,2(1+1%)=2060,602 Euro

Cet exemple nous permet simplement de bien comprendre l’origine et le principe du calcul de l’intérêt composé. Dans ce cas on a que trois périodes (3 mois) ce qui rend un tel calcul plus aisé, mais si nous avons un placement pour une durée plus longue (20 mois ou plus), on devrait avoir plus de patience pour calculer notre intérêt composé suivant cette méthode. Donc on a bien intérêt a avoir une seule formule qui nous permet de déterminer le montant de l’intérêt composé en un seul et unique calcul quelque soit la durée prise en compte.

Dans le calcul de l’intérêt composé on ajoute à la fin de chaque période, le montant de l’intérêt au capital précédent pour calculer l’intérêt de la période suivante. En effet, considérons un capital initial C0 placé au taux i pendant n période, alors nous allons avoir les calculs suivants :

A la fin de première période : C1=C0 + I1=C0 + C0.i = C0(1+i)
A la fin de la deuxième période : C2 = C1 + C1.i = C1(1+i)=C0(1+i)(1+i)=C0(1+i)2
…………
A la fin de la Nième période : Cn=C0(1+i)n

Ansi pour l'exemple de calcul cité ci-dessus en trois étaps pourrait être obtenu en appliquant la formule : Cn=C0(1+i)n ==> C3=C0(1+i)3=2000(1+1%)3=2060,602


Exercices d'application pratique



1. Combien j’aurais à la fin de la troisième année d’un placement de 2000 Euro à un taux mensuel de 2% ?


Dans cette exemple, tous les éléments de la formule "Cn=C0(1+i)n" sont identifiés, à savoir :

Le taux d'intérêt mensuel i=2% ;
Le capital prêté C0=2000 Euro ;
La durée du prêt n=3*12=36mois.

Donc en appliquant simplement la formule, le produit du placement serait C36=2000(1+2%)36=4079,77Euro

2. Dans le cadre du même exercice précédent, Je voudrais savoir à quelle date j’atteindrais 5000Euro


En utilisant toujours la même fomule, nous avons : 5000=2000(1+2%)n avec n le nombre de mois nécessaires pour qu'un prêt de 2000Euro au taux mensuel de 2% produit 5000Euro (capital initial + les intérêts).

En simplifiant la formule nous avons : 1,02n=5/2.

Pour trouver la valeur de n, il faut se servir de la fonction logarithmique que nous allons introduire sur les deux coté de l'équation : Log1,02n=Log5/2 ce qui donne n*Log1,02=Log2,5

Finalement nous obtenons une durée de :
n=Log2,5/Log1,02=46,27mois c'est à dire 46mois plus 0,27*30=8jous


Calcul de La valeur temporelle de l'argent



On dit souvent « le temps, c’est de l’argent » pour signifier qu’il ne faut pas le gaspiller. Mais en finance, on le dit au sens propre, c'est-à-dire que le temps est vraiment de l’argent.

Alors en quoi consiste la valeur temporelle de l’argent ? Comment peut-on expliquer qu’un euro d’aujourd’hui vaut plus qu’un euro dans un an ou plus ?

La valeur temporelle de l’argent devient une réalité évidente pour tout le monde, en rappelant simplement ce qu’on pourrait acheter d’un euro y a plusieurs années ? Sans doute beaucoup plus que ce qu’on en peut acheter aujourd’hui.

La façon la plus simple pour expliquer l’influence du temps sur la valeur de l’argent est que ce dernier peut produire lui-même de l’argent, ce qui, sans doute, influence sa valeur. En effet, en plaçant 100 euro pour un an à 10%, nous donnera 110 euro, à la fin de l’année sans vendre ni acheter quoi que ce soit !!!

Le taux d’intérêt traduit bien la valeur temporelle de l’argent et il couvre réellement plusieurs éléments, à savoir :
    • L’inflation : le pouvoir d’achat d’un euro n’est pas le même d’une année à l’autre. Un prêteur d’un euro aujourd’hui devrait lui assurer un remboursement qui couvre le taux d’inflation dans un an de sorte à maintenir le même pouvoir d’achat.
    • Supposons qu’il n’y a pas d’inflation et que ce qu’on peut acheter d’un euro d’aujourd’hui est le même que dans un an. Le prêteur à la préférence de consommer aujourd’hui que dans un an ce qui expliquerait une partie du taux d’intérêt qui représente en quelque sorte le prix de renoncer à la consommation d’aujourd’hui à une consommation future.
    • Le risque liée à l’incertitude de ce que l’emprunteur va faire de l’argent qu’on lui prête a aussi un prix inclut dans le taux d’intérêt.
En mathématiques financières on exprime cette valeur temporelle de l’argent par les termes « capitalisation » et « actualisation ».


Actualisation et capitalisation



La capitalisation et l’actualisation sont d’une importance cruciale dans tous les calculs financiers dominant les opérations bancaires et ils sont au cœur de toutes les théories des mathématiques financières.

Jusqu’à présent, on est bien d’accord qu’un même montant ne présente pas la même valeur à des dates différentes. La capitalisation et l’actualisation sont les deux opérations financières qui mettent en relation, dans une formule mathématique, les deux valeurs en question.

L’actualisation est la mesure de la valeur actuelle d’une somme d’argent dans le futur, alors que la capitalisation est le calcul de la valeur future par rapport à la valeur présente d’un montant d’argent. Ainsi sur une flèche représentant le temps, on illustre les deux formules :

actualisation et capitalisation

L’intérêt de capitalisation et d’actualisation est de pouvoir déterminer la juste valeur d’un montant à tout moment que ce soit dans le passé où dans le futur. Si à une date donnée, nous disposons d’une valeur V et en considérant un taux d’actualisation i, alors nous pouvons déterminer à la fin de chaque période la valeur réel de V comme suite :

actualisation et capitalisation


Calculs financiers de base : les annuités



Dans le cas d’un crédit, le remboursement ne s’effectue pas, du moins dans la plupart des cas, en une seule fois mais en plusieurs montants échelonnés dans le temps.
On appelle chaque montant une annuité par référence à une période annuelle mais plutôt pour signifier une suite de paiements ou versements à intervalle régulier pour une période de temps donnée.

Il importe à présent de savoir comment calculer une suite d’annuités en un seul montant équivalent pour en juger la vraie et unique valeur à une date donnée. Dans ce cas, on appelle la valeur actuelle celle obtenue par l’actualisation des différentes annuités. Par contre, on appelle la valeur acquise, la capitalisation à une date future d’un ensemble d’annuités.


La valeur actuelle (VA)



Comme son nom l'indique, il s'agit de mesurer la valeur au présent de plusieurs montants (annuités) disponibles dans le futur en actualisant chaque annuité et on en calculant la somme.

A titre d'exemple, combien je dois prêter au taux mensuel de 3% pour me faire rembourser 230 Euro pour les trois mois suivants ? Il s’agit simplement de calculer la valeur actuelle de ces trois sommes d’argent à recevoir :

exemple valeur actuelle

La valeur actuelle (VA) qui représente dans ce cas le montant à emprunter pour avoir trois remboursements mensuels de 230 Euro se calcule de la façon suivante :

VA = 230(1+3%)-1 + 230(1+3%)-2 + 230(1+3%)-3 = 650,58 Euro

Dans cet exemple nous n'avons que trois annuités constantes ce qui rend le calcul de la valeur actuelle plus aisé. En effet, le problème de se baser sur l'actualisation des annuités pour déterminer la valeur actuelle se pose en cas de plusieurs annuités, d'où l'intérêt d'avoir une formule qui permet ce calcul quelque soit le nombre d'annuités.

Considérons une serie de n annuités constantes de valeur a, alors la valeur actuelle sera :

valeur actuelle

VA = a (1+i)-1 +a (1+i)-2 + …+ a (1+i)-n

VA(1+i) = a + a(1+i)-1 +a(1+i)-2 + …+ a(1+i)-(n-1)

Si on déduit la première équation de la deuxième, on aura :

VA(1+i) – VA = a - a(1+i)-n

i.VA = a[1 - (1+i)-n ]

D'où la formule de la valeur actuelle de n annuités constantes et de montant a :

VA = a[1 - (1+i)-n ]/i



La valeur acquise (VF)



La valeur acquise est la valeur future d’une série d’annuités. A l’inverse de la valeur actuelle, la valeur acquise s’obtient en capitalisant toutes les annuités à la fin de la dernière somme reçue ou versée.

valeur actuelle

Tout comme la valeur actuelle, capitaliser chaque annuité puis faire la somme pour avoir la valeur acquise s’avère une tache difficile d’où l’intérêt de se servir de la formule démontrée ci-dessous :

VA =(1+i)-n VF donc VF = (1+i)n VA = (1+i)n.a[1 - (1+i)-n ]/i

d'où la formule de la valeur acquise :

VF = a[(1+i)n - 1]/i



Les différents calculs liés au taux d’intérêt



Le taux d’intérêt est un élément très important à la prise de décision quant au financement d’un projet par un crédit. Pourtant, seul le taux équivalent ou taux effectif global (TEG) pourrait être prise en compte pour évaluer le coût réel d’un crédit. Pour cette importance du TEG, on abordera les explications et méthodes de calcul du taux effectif global (TEG) qu’il faut distinguer du taux nominal.

Le TEG est le taux qui traduit le vrai coût du crédit en incluant dans sa base de calcul tous les frais qui y sont liés. Pour comparer entre plusieurs emprunts ou plusieurs placements, il faut absolument que ça soit fait en comparant les TEG des emprunts ou prêts en question. Quand le TEG qui correspond à une période d’un an, on parle plutôt du Taux Annuel Effectif Global (TAEG) qui représente le taux annuel réellement et effectivement supporté par l’emprunteur.


Calcul du TAEG en faisant abstraction des frais de dossier



Exemple : On veux savoir le TAEG qui correspond au taux mensuel de 1% ?

le TAEG c’est également le Taux annuel équivalent c’est à dire le taux annuel qui donnerait le même résultat que 1% mensuellement.
  • La capitalisation de 1 Euro au taux de 1% pendant 12 mois = (1+1%)12 = 1,1268 Euro
  • La capitalisation de 1 Euro au taux annuel (TAEG) pendant un an = (1+TAEG)

Donc, pour la même période d’un an et le même montant de placement d’un Euro, ce que nous avons obtenu avec la capitalisation au taux mensuel de 1% doit être équivalent à ce que nous avons obtenu avec la capitalisation au taux annuel TAEG, c’est à dire 1,1268 = 1 + TAEG ce qui donne un TAEG = 12,68%

Vous voyez bien que ce que supporte réellement l’emprunteur n’est pas 12 fois 1% (12%, qui correspond au taux proportionnel) mais un peu plus.

Quelle est la formule générale pour calculer le TAEG qui correspond à un taux i périodique autre que l’année ?

La capitalisation d’un Euro pour un an au taux nominale i (mensuel, trimestriel ou autre) pendant p période nous donne à la fin de l’année (1+i)p cela devrait être équivalent au résultat qu’on obtient en plaçant ce même montant d’un Euro au taux annuel TAEG pour un an (1+TAEG)

==> (1+i)p = 1+TAEG ==> TAEG = (1+i)p - 1

avec p : le nombre de périodes par rapport à un an [ex : taux mensuel : p = 12 ; Taux de 2 ans : p=1/2 ; Taux semestriel : p=2]

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